Το παράδοξο του Russell

Η
Principia Mathematica αποτελεί έναν σταθμό σε αυτό που θα μπορούσαμε να
ονομάσουμε κλασσική λογική ή απλά λογική, και γράφτηκε από τους
Whitehead και Russell στις αρχές του προηγούμενου αιώνα.Ο σκοπός της
ήταν φιλόδοξος: Να παράξει όλες τις μαθηματικές αλήθειες μέσα από ένα
συνεπές και πλήρες λογικό σύστημα. Με άλλα λόγια, να βρει ένα σύνολο
θεμελιωδών παραδοχών, αρκετό να αναπαράγει όλο τον κόσμο της ανθρώπινης
λογικής.

Το Παράδοξο του Russell

Η
βασική αρχή που ακολουθείται στην Principia Mathematica έγκειται στο
γεγονός ότι, αντίθετα με ότι θεωρείτο ως τότε, σε μια συνεπή θεωρία
συνόλων (Set Theory), ένα σύνολο είναι διαφορετικό από τα στοιχεία που
το αποτελούν και αντιστρόφως ένα στοιχείο ενός συνόλου δεν είναι το ίδιο
με το σύνολο.

Ας
θεωρήσουμε το εξής παράδειγμα: Θα ονομάσουμε ‘συνεπές’ ένα σύνολο που
δεν περιέχει τον εαυτό του και ‘ασυνεπές’ ένα σύνολο που περιέχει τον
εαυτό του. (Παρακάτω θα εξετάσω περισσότερο τι σημαίνει κάτι να περιέχει
ή όχι τον εαυτό του). Έστω για παράδειγμα το σύνολο όλων των
τετραγώνων. Αυτό το σύνολο δεν είναι τετράγωνο και επομένως δεν αποτελεί
μέλος του συνόλου των τετραγώνων, δηλαδή δεν περιέχει τον εαυτό του.
Επομένως είναι ‘συνεπές.’ Από την άλλη μεριά, ας πάρουμε το σύνολο όλων
των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα. Αυτό το σύνολο δεν είναι και πάλι
τετράγωνο, αλλά μπορεί να είναι μέλος του συνόλου των πραγμάτων που δεν
είναι τετράγωνα, δηλαδή μπορεί να περιέχει τον εαυτό του και επομένως
είναι ‘ασυνεπές.’ Τώρα αν θεωρήσουμε το σύνολο R ‘όλων των συνόλων.’ Αν
το R είναι ‘συνεπές,’ τότε δεν θα περιέχεται στο σύνολο όλων των συνόλων
και επομένως θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει και θα
είναι ‘ασυνεπές.’ Από την άλλη μεριά, αν το R είναι ‘ασυνεπές,’ τότε θα
περιέχει τον εαυτό του στο σύνολο όλων των συνόλων και θα υπάρχει ένα
μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει, πράγμα συνεπές. Αυτό οδηγεί στο
συμπέρασμα ότι ότι το R είναι ταυτόχρονα ‘ασυνεπές’ και ασυνεπές,’
πράγμα άτοπο. (Παράδοξο του Russell).

Η ανυπαρξία του Παραδόξου.