Το προηγούμενο παράδοξο ονομάζεται ‘παράδοξο του ψεύτη’ (liar paradox). Σαν κάποιος (εικόνα του post) να μας λέει με …. απόλυτη ειλικρίνεια: ‘Μην πιστεύεις τίποτε απ’ ό,τι σου λέω!’.
Υπάρχουν παραλλαγές του παραδόξου όπως οι προτάσεις: ‘Η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή’, ‘η επόμενη είναι λάθος’, κοκ. Η βασική αρχή πάντως που παραβιάζεται σε κάθε περίπτωση είναι η συνέπεια (consistency). Κάθε λογική μας πρόταση θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από συνέπεια. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστή και λάθος, συντακτικά και νοηματικά. Αυτή είναι και η βασική αρχή της επαγωγικής λογικής. Αυτό θα μπορούσε κάποιος αμέσως να σκεφτεί στην προηγούμενη ερώτηση: “Ποια ερώτηση;”. Θα χρειαζόταν δηλαδή κάποια επιπλέον πρόταση, η οποία δεν περιέχεται στην προηγούμενη πρότασή μας.
Ο Gödel ήταν αυτός που επεξέτεινε το παραπάνω παράδοξο για να δείξει ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί ποτέ μια ‘τέλεια μηχανή της αλήθειας’, γιατί
ακριβώς δε θα μπορούσε να απαντήσει αν η πρόταση: “Δεν θα πεις ποτέ ότι αυτή η πρόταση είναι αληθής”, είναι αληθής ή ψευδής. Κατάφερε μάλιστα να μαθηματικοποιήσει το παραπάνω παράδοξο, στο θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο απλά λέει ότι σε κάθε σύστημα υπάρχει πάντοτε μία παραδοχή η οποία είναι αληθής, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα. Σε συντομία, για κάθε θεωρία Τ υπάρχει η αντίστοιχη πρόταση G που λέει “Η πρόταση G δεν μπορεί να απαντηθεί μέσα από τη θεωρία Τ.” Αν η G ήταν αποδείξιμη με τα αξιώματα της Τ και τους επαγωγικούς κανόνες, τότε η Τ θα είχε ένα θεώρημα G, πράγμα που ακυρώνει την αρχική υπόθεση, πράγμα που αποτελεί αντίφαση και επομένως η θεωρία Τ θα ήταν ασυνεπής. Αν η θεωρία Τ είναι συνεπής, τότε η πρόταση G δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από τη θεωρία, οπότε η θεωρία Τ είναι ατελής (μη πλήρης).
Το βασικό χαρακτηριστικό του προηγούμενου παραδόξου και του θεωρήματος της μη πληρότητας του Gödel είναι η λεγόμενη ‘αυτοαναφορά’ (self-reference), μία πρόταση δηλαδή που αναφέρεται κατευθείαν στον εαυτό της. Σκεφτείτε για παράδειγμα την παραδοχή: “Είμαι όμορφος”. Μόλις είπα κάτι που ούτε μπορεί να αποδειχτεί, ούτε ίσως έχει νόημα για τον κόσμο. Κατά τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα του Gödel μας λέει ότι υπάρχουν παραδοχές οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν με τα αξιώματα του (ίδιου) συστήματος, γιατί αναφέρονται ακριβώς σε αυτά τα αξιώματα των οποίων αποτελούν λογική συνέπεια.
Το θεώρημα (δύο θεωρήματα στην πραγματικότητα) της μη πληρότητας του Gödel, είναι θεώρημα της μαθηματικής λογικής. Εντούτοις θα μπορούσαμε να το γενικεύσουμε σε όλους τους τομείς της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Πολλές φορές η σκέψη μας οδηγείται σε παράδοξα και άτοπα, χωρίς να φαίνεται να υπάρχει κάποιο ‘λογικό σφάλμα.’ Δεχόμαστε αξιώματα ως προσωπικές ή ‘αντικειμενικές’ αλήθειες, οι οποίες και είναι αυτονόητες, δηλαδή δεν μπορούν ούτε και έχει νόημα να αποδειχθούν. Επίσης, η σύγχρονη φυσική ψάχνει τη μεγάλη ενοποιημένη θεωρία των πάντων. Αν δεχτούμε όμως ότι το θεώρημα του Gödel επεκτείνεται και στο χώρο της φυσικής, τότε οι προσπάθειές μας για αυτήν την ενοποίηση και την πλήρωση της ανθρώπινης γνώσης είναι ουτοπικές…
http://christselentis.blogspot.gr/2008/09/o-goedel.html
….Οι διαχειριστές του katohika.gr διατηρούν το δικαίωμα τροποποίησης ή διαγραφής σχολίων που περιέχουν υβριστικούς – προσβλητικούς χαρακτηρισμούς.
Απαγορεύεται η δημοσίευση συκοφαντικών ή υβριστικών σχολίων.Σε περίπτωση εντοπισμού τέτοιων μηνυμάτων θα ακολουθεί διαγραφή
Επιλεξτε να γινετε οι πρωτοι που θα εχετε προσβαση στην Πληροφορια του Stranger Voice
Greek