Φανταστείτε να παίρνουμε μία συμπαγή σφαίρα, να τη χωρίζουμε σε λίγα κομμάτια και να κατασκευάζουμε δύο σφαίρες ακριβώς ίδιες με την αρχική, χωρίς να προσθέσουμε υλικό. Αυτό μοιάζει με ταχυδακτυλουργία. Κι όμως, αποτελεί συνέπεια ενός πραγματικού μαθηματικού θεωρήματος που δημοσιεύθηκε το 1924 από τους Στέφαν Μπάναχ και Άλφρεντ Τάρσκι.
Τι λέει πραγματικά το θεώρημα
Στην τρισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία, μια ιδεατή συμπαγής σφαίρα μπορεί να διαμεριστεί σε πεπερασμένο αριθμό εξαιρετικά περίπλοκων συνόλων σημείων. Με κατάλληλες περιστροφές και μετατοπίσεις, αυτά τα σύνολα μπορούν να ανασυντεθούν σε δύο σφαίρες ίδιου μεγέθους με την αρχική.
Το κρυφό στοιχείο: το άπειρο
Τα «κομμάτια» δεν είναι φυσικά αντικείμενα που θα μπορούσαμε να κόψουμε με μαχαίρι. Πρόκειται για μη μετρήσιμα σύνολα σημείων, τόσο περίπλοκα ώστε δεν έχουν συνηθισμένο ορισμό όγκου. Η απόδειξη χρησιμοποιεί μια ισχυρή αρχή της θεωρίας συνόλων, το αξίωμα της επιλογής.
Γιατί δεν μπορεί να εφαρμοστεί στον πραγματικό κόσμο
Τα άτομα, οι φυσικοί περιορισμοί και η έννοια του μετρήσιμου όγκου δεν επιτρέπουν την κατασκευή αυτών των ιδεατών συνόλων ως υλικών κομματιών. Το θεώρημα δεν παράγει ύλη, δεν αποδεικνύει δωρεάν ενέργεια και δεν ανατρέπει την αρχή διατήρησης της μάζας.
Το βαθύτερο μάθημα
Το παράδοξο αποκαλύπτει ότι η καθημερινή μας διαίσθηση για τον χώρο και τον όγκο δεν ισχύει αυτούσια για όλα τα μαθηματικά σύνολα. Είναι ένα παράδειγμα του πώς μια απολύτως αυστηρή απόδειξη μπορεί να οδηγεί σε συμπέρασμα που ακούγεται αδύνατο.
Μπορεί να υπάρξει κάτι παρόμοιο σε άλλες διαστάσεις;
Η συμπεριφορά των γεωμετρικών μετασχηματισμών αλλάζει με τη διάσταση. Αυτός είναι ένας από τους λόγους που το συγκεκριμένο αποτέλεσμα συνδέεται τόσο στενά με τη γεωμετρία των τριών διαστάσεων και πάνω.
Πηγές: Stefan Banach και Alfred Tarski, «Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes» (1924)· Encyclopaedia of Mathematics, λήμμα Banach–Tarski paradox.
ΕΡΕΥΝΑ
ΕΡΕΥΝΑ
ΕΡΕΥΝΑ
Αφήστε μια απάντηση